Wie bestimmt man den Homogenitätsgrad einer Produktionsfunktion?
Beispiel: f(K,L) = Kα ·Lβ
Um den Homogenitätsgrad zu bestimmen werden die zwei Faktoren Kapital (K) und Arbeit (L) mit λ erweitert:
f(λK,λL) = (λK)α ·(λL)β
Rechenregeln für Potenzen anwenden:
f(λK,λL) = λα ·Kα ·λβ ·Lβ
Zusammenfassen:
f(λK,λL) = λα+ β ·Kα ·Lβ = λα+ β · f(K,L)
Die Produktionsfunktion ist homogen vom Grad α+ β.
Wenn eine Funktion homogen ist, lässt sie sich in der folgenden Form schreiben:
f(λx1, ... λxn) = λr f(x1,... , xn)
diese Darstellung wird auch als Eulersche Formel bezeichnet. Der Grad der Funktion wird mit r bezeichnet. Im Fall von r = 1 ist die Funktion linear homogen.
Anmerkung 1: Nicht jede Funktion ist homogen
Anmerkung 2: Eine homogene Funktion kann den Homogenitätsgrad r
= 0 haben.
Beispiele zur Berechnung des Homogenitätsgrad
Gegeben sei die Funktion f (K) = K2 .
f (K)
=
K2
f( λK)
=
(λK)2
f( λK)
=
λ2 ·K2
f( λK)
=
λ2 ·f(K)
Die Funktion f (K) = K2 ist homogen vom Grad 2.
Gegeben sei die Funktion f (K,L) = K0.4 ·L0.6 .
f (K,L)
=
K0.4 ·L0.6
f(λK,λL)
=
(λK)0.4 ·(λL)0.6
f(λK,λL)
=
λ0.4 ·K0.4 ·λ0.6 ·L0.6
f(λK,λL)
=
λ0.4 + 0.6 ·K0.4 ·L0.6
f(λK,λL)
=
λ1 ·K0.4 ·L0.6
f(λK,λL)
=
λ1 ·f(K,L)
Die Funktion f (K,L) = K0.4 ·L0.6 ist homogen vom Grad 1 und damit ist die Funktion linear homogen.
Gegeben sei die Funktion f (K,L) = K0.4 + L0.6 .
f (K,L)
=
K0.4 + L0.6
f(λK,λL)
=
(λK)0.4 + (λL)0.6
f(λK,λL)
=
λ0.4 ·K0.4 + λ0.6 ·L0.6
Die Funktion f (K,L) = K0.4 + L0.6 ist nicht homogen, da sie sich nicht in der Form f(λx1, ... λxn) = λr f(x1,... , xn) darstellen lässt.
Gegeben sei die Funktion f (K,L) = [(K-1 ·L2)/(K + L)] .
f (K,L)
=
[(K-1 ·L2)/(K + L)]
f(λK,λL)
=
[((λK)-1 ·(λL)2)/((λK) + (λL))]
f(λK,λL)
=
[(λ-1 ·K-1 ·λ2 ·L2)/(λ1 ·K1 + λ1 ·L1 )]
f(λK,λL)
=
[(λ-1+2 ·K-1 ·L2)/(λ1 ·(K1 + L1) )]
f(λK,λL)
=
[(λ1 ·(K-1 ·L2))/(λ1 ·(K1 + L1) )]
f(λK,λL)
=
[(λ1)/(λ1)] ·[( (K-1 ·L2))/((K1 + L1) )]
f(λK,λL)
=
1 ·[( (K-1 ·L2))/((K1 + L1) )]
f(λK,λL)
=
λ0 ·f (K,L)
Die Funktion f (K,L) = [(K-1 ·L2)/(K + L)] ist homogen vom Grad 0.